✨ مسئله یافتن دو عدد با مجموع 20 و حاصل ضرب حداکثر ✨

📐آموزش ریاضیات پایه هفتم✏️

سلام دوستان 👋! امروز می‌خوایم یه مسئله‌ی خیلی جالب رو با هم حل کنیم. این مسئله در واقع یه کاربرد از مفاهیم بهینه‌سازی در ریاضیاته و می‌تونه توی زندگی روزمره هم بهمون کمک کنه. 🤩

روش اول: استفاده از جبر و مشتق 🤓

فرض کنید دو عدد مورد نظر ما x و y باشند. طبق صورت مسئله، داریم:

• x + y = 20

هدف ما پیدا کردن مقادیری برای x و y است که حاصل ضرب xy را حداکثر کند. می‌تونیم y را بر حسب x از معادله‌ی بالا به دست بیاریم:

• y = 20 - x

حالا حاصل ضرب رو به صورت تابعی از x می‌نویسیم:

• f(x) = x(20 - x) = 20x - x²

برای پیدا کردن مقدار x که تابع f(x) رو حداکثر می‌کنه، باید مشتق اول تابع رو برابر با صفر قرار بدیم:

• f'(x) = 20 - 2x = 0

با حل این معادله، مقدار x به دست میاد:

• 2x = 20
• x = 10

حالا مقدار y رو هم محاسبه می‌کنیم:

• y = 20 - x = 20 - 10 = 10

بنابراین، دو عدد مورد نظر ما x = 10 و y = 10 هستند. حاصل ضرب این دو عدد برابر است با:

• xy = 10 * 10 = 100

روش دوم: استفاده از نامساوی AM-GM (میانگین حسابی - میانگین هندسی) 🧐

نامساوی AM-GM بیان می‌کنه که برای هر مجموعه از اعداد غیرمنفی، میانگین حسابی همواره بزرگتر یا مساوی با میانگین هندسی اونهاست. به عبارت دیگه:

در مسئله‌ی ما، x + y = 20. پس:

• 10 ≥ √xy

با به توان رساندن دو طرف نامساوی، داریم:

• 100 ≥ xy

این نشون می‌ده که حاصل ضرب xy حداکثر می‌تونه برابر با 100 باشه. و این مقدار زمانی به دست میاد که x = y. بنابراین:

• x = y = 10

روش سوم: استدلال شهودی و بررسی چند حالت 💡

بیایید یه کم به مسئله فکر کنیم. اگه بخوایم دو عدد رو انتخاب کنیم که مجموعشون 20 باشه، چه اعدادی می‌تونن حاصل ضرب رو حداکثر کنن؟ 🤔

همونطور که می‌بینید، وقتی x و y به هم نزدیک‌تر میشن، حاصل ضربشون بیشتر میشه. در نهایت، وقتی x = y = 10، حاصل ضرب به حداکثر مقدار خودش یعنی 100 می‌رسه. 🎉